Las varillas de Neper

Procedimiento de calcular con tablas y con varillas, inventado por John Napier: La Tabla de los Logaritmos y el Ábaco Neperiano. etc...

Las varillas de NeperJohn Napier
(Imagen1)

Procedimiento de calcular con tablas y con varillas, inventado por John Napier: La Tabla de los Logaritmos y el Ábaco Neperiano.

John Napier, Nepair, Nepper

El que nosotros conocemos como Neper (1550 – 1617), fue un ilustre escocés, Barón de Merchiston, quien nació y murió en Merchiston Castle, cerca de Edimburgo. Estudió en el colegio de San Andrés. Realizo viajes por Bélgica, Holanda, Francia e Italia. A los 22 años se fuea vivir al Castillo de Gartnes, casándose con Isabel Stirling de Keir, con quien tuvo dos hijos, después volvería a casarse con Ines Chisholm de quien tuvo otros cinco hijos más. Desde los 23 años se dedicó a las matemáticas compaginando sus descubrimientos con su puritano interés por la teología anglicana y con su militancia anticatólica, anti-papista y en defensa del Reino Unido, ante la amenaza de una inminente invasión de Inglaterra por la “Armada Invencible” de Felipe II. Todo esto le inspiró el diseño de varios instrumentos de guerra: un tanque con agujeros para poder disparar guarnecido desde el interior del carro, un cañón y también unos espejos que concentraban rayos solares convergentes en el velamen de los barcos enemigos españoles, con la intención de incendiarlos. Fue uno de los “Primitivos Gurús de la Informática”. Hoy exponemos los motivos de tal consideración.

Tablas y Varillas. Otros soportes más.

Como ya vimos, desde el comienzo de la historia, el hombre ha buscado procedimientos para representar cantidades mediante objetos auxiliares, así la primitiva numeración digital se realizaba con los dedos. También vimos que se utilizaban diversas posturas corporales adoptadas para señalar cantidades mayores, o se empleaban objetos auxiliares como indicadores numéricos, bien fuesen semillas (cuentas), o guijarros (cálculos). En otros casos se hacían nudos con cordeles, y también muescas talladas en maderas para representar cantidades.

Hoy veremos otros dos soportes, que proceden del ingenio matemático de Neper, el invento de los logaritmos (las tablas de logaritmos) y el cálculo mediante varillas.

Las tablas de logaritmos fueron publicadas por Neper en Edimburgo en 1614 y llevaban por título: “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”. El segundo invento, o procedimiento de calculo aportado por Neper, son las varillas para multiplicar, que el propio Neper plasmó en otro tratado denominado: “Rabdologia, Seu Numerarionis Per Virgulas. Libri Duo” (Imagen 2). “Rabdología” es un neologismo neperiano que procede del griego. Es una palabra compuesta de: “Rabdos” o “Rhabdos” (Ver Cod.1), que significa varilla, o tablilla y “logos” (Ver Cod.2) que significa Tratado o Conocimiento, por lo que “Rabdología” sería el “Tratado de las Varillas”.

varillas de Neper
(Cod.1)

varillas de Neper
(Cod.2)

La Multiplicación es una Suma abreviada

Hoy día los niños en las escuelas aprenden tempranamente a contar y después a sumar y a restar (operación que es la inversa de la suma). También aprenden a multiplicar (operación abreviada de la suma) y a dividir (operación inversa de la multiplicación). Más adelante aprenderán a elevar a potencia (operación abreviada de la multiplicación) y también la radicación, esto es la obtención de raíces (que es la operación inversa de la potenciación). En estudios más avanzados también llegarán a aprender los logaritmos y los antilogaritmos, etc. Precisamente los logaritmos y los antilogaritmos fueron inventos de Neper.

varillas de Neper(Imagen 2)

Hasta tiempos muy recientes la sociedad, el pueblo llano, no iba a la escuela, por lo que difícilmente aprendía y no conocía, ni sabía, otras operaciones aritméticas más allá de la suma y de la resta. Con tales limitaciones era frecuente que la mayoría de la gente desconociese la tabla de multiplicar. En mi época infantil, en párvulos, la tabla de multiplicar se aprendía cantando. John Napier trescientos años antes había inventado los dos procedimientos señalados para evitarnos el tener que memorizar la tabla de multiplicar. Hoy con las calculadoras y con los ordenadores personales hay muchos que piensan algo parecido, por tanto hoy ¡ni cantando! y para colmo algunos hace tanto tiempo que lo aprendieron, que ya casi se les ha olvidado la letra de la canción.

Uno de los procedimientos de Neper para calcular productos sin memorizar la tabla de multiplicar consistía en usar las otras mencionadas “Tablillas”, o “Varillas de Neper”, a las que dedicaremos nuestra atención aquí, más adelante. El otro procedimiento de Neper para multiplicar, consistía en consultar las tablas de logaritmos y de antilogaritmos, que el propio Neper construyó.

Las Tablas de logaritmos

Por si el lector es de Letras le recuerdo que logaritmo “L” en base “b” de un número “N” es el número al que hay que elevar “B” para obtener “N”. Esto es: buscamos “L” para que BL = N. Recordemos así mismo que antilogaritmo es el valor inverso. Cuando la base es fija, por ejemplo 10, 2, “e”, los logaritmos asociados a la serie natural de los números se pueden escribir en hojas de papel y encuadernar en grandes volúmenes, denominándose a esta publicación:
“Tablas de Logaritmos” (Imagen 3), como las inventadas y publicadas por Neper.

varillas de Neper(Imagen 3)

En España las primeras tablas de logaritmos se publicaron con un cierto retraso. Las publicó el Padre Zaragoza en 1672, como un apéndice de su Trigonometría. Era otra época.

El procedimiento de Neper para usar estas tablas, para multiplicar números, se basaba en que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Por ello, si quisiéramos multiplicar dos números, sería suficiente consultar los logaritmos de cada factor, sumar ambos valores y consultar en otra tabla el antilogaritmo de esa suma, número que sería el resultado (el producto buscado):
A x B = antilog (log (A x B)) = antilog (log A + log B)

La cosa parece complicada, pero es muy sencilla. Basta con mirar tres veces en unas tablas (dos veces en la de logaritmos y una vez en la de antilogaritmos) y saber sumar. No hace falta aprender las reglas de la multiplicación.

La división igualmente y de forma parecida se reduce a una sustracción y a otras tres consultas: dos a las tablas de logaritmos y una a la de antilogaritmos.
A / B = antilog (log (A / B)) = antilog (log A – log B)

Las Varillas de Neper

El otro procedimiento que aporta Neper como antecedente histórico de la Informática (además de los logaritmos) son las “varillas multiplicatrices”.

Básicamente las hay para dos tipos de aplicaciones: 1º) varillas que sirven para multiplicar directamente un número de varias cifras por un número de una sola cifra, como las que se representan en la Imagen 4. 2º) Las que se emplean específicamente en multiplicar números de varias cifras por otros también de varias cifras. Las primeras suelen ser prismas de sección cuadrada, donde en cada uno de los cuatro laterales aparece la tabla de multiplicar de un número entero, de una sola cifra por cada uno de los 9 primeros números naturales (1,2,3,..,9), tal como aparecen en la (Imagen 4).

En cada uno de los dos supuestos existen varillas verticales (que configuran el multiplicando) y en su caso posiciones o varillas horizontales con orificios (con las que se representa el multiplicador). En la imagen de la Imagen 5 se pretende multiplicar el número 46.785.399 por 5. Es suficiente con sumar las cifras correspondientes de la fila 5. El resultado es: 233.926.995.

varillas de Neper(Imagen 4)

varillas de NeperEjemplo de cómo multiplicar (sumando) (multiplicación de 5 por el número: 46785399)
(Imagen 5)

Es de destacar que en las varillas de Neper, al orientar la inclinación de las cifras componentes de cada producto de la tabla de multiplicar mediante una línea oblicua, se induce el transporte, o acarreo, del sumando que se arrastrará a la posición siguiente. Más adelante en las máquinas de calcular esto dará lugar a un adecuado engranaje mecánico.

El segundo supuesto de varillas es el constituido por dos tipos: verticales que se sitúan debajo y horizontales, que se superponen por encima. En todo caso las varillas seleccionadas configuran las cantidades, que se representan como factores (multiplicando y multiplicador). Las verticales tienen escritos números, las horizontales tienen agujeros que permiten ver los números posicionalmente coincidentes en las varillas de debajo. La lectura sumatoria es similar a la del supuesto anterior. Se suman los números que no quedan ocultos.

El Ábaco Neperiano de El Escorial

El mejor conjunto de Varillas de Neper es el denominado Ábaco Neperiano, que actualmente se expone en el Museo Arqueológico Nacional de Madrid (Imagen 6). El objeto de referencia es muy superior, en su talla y calidad, a las cajas mostradas actualmente en el Science Museum de Londres.

Como decía (hacia 1876) Felipe Picatoste, quien estudió este instrumento, e incluso lo presentó en la Exposición de Instrumentos Científicos de Kensington, “se desconocía por completo su uso y sus aplicaciones”. Este Ábaco Neperiano, de la primera mitad del siglo XVII, es un pequeño y artístico armarito, construido con maderas nobles que contiene incrustaciones de palo santo y de marfil. En una contraportada puede verse el escudo de armas del Monasterio de los Jerónimos de El Escorial, con la parrilla de San Lorenzo. Esto es debido a su origen yprocedencia, el de la Academia de Matemáticas del Real Sitio, fundada por el Rey Felipe II, lugar por cierto donde se estudiaba el Trivium y el Quadrivium (Estudios de Bachillerato de la época).

Ábaco Neperiano del Real Monasterio del EscorialÁbaco Neperiano del Real Monasterio del Escorial
(Imagen 6)

En las 30 cajoneras del Ábaco y en el estuche superior se guarda la colección completa de más de 300 varillas. Se albergan los dos tipos de varillas que hemos mencionado.
Es curioso que, procedente del Monasterio del Escorial, mandado construir por Felipe II y donde el propio Rey residía, se guardasen, en tan preciado recipiente y con tanto celo, las varillas de cálculo del procedimiento inventado por su furibundo enemigo John Neper.


Guillermo Searle Hernández
Fuente: archivo PDF

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